力学的エネルギー(りきがくてきエネルギー、英: mechanical energy)とは、運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和のことを指す[1]。
保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー(運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和)が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則(力学的エネルギー保存則)と言う[2]。
これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K、ポテンシャルを U、力学的エネルギーを E とする。
一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、
なので、
となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、
である。 (x0 は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x2 の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。
十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。
力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー(摩擦などを通してやりとりされる)や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している(→エネルギー保存の法則)。
力学的エネルギーの散逸[編集]
保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。
具体的な非保存力の例は、
- 動摩擦力
![{\displaystyle -\mu {\hat {\boldsymbol {v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2646e8c5670dc61aa89f4493771cfe55b0044cfa)
- 粘性抵抗力
![{\displaystyle -\gamma {\boldsymbol {v}}=-\gamma v{\hat {\boldsymbol {v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc00995ee44d55cca21ac3923f1e1d90699ba4ca)
- 慣性抵抗力
![{\displaystyle -\beta v{\boldsymbol {v}}=-\beta v^{2}{\hat {\boldsymbol {v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945b9e138b47e597dd9994e56c806d9b99dd2d82)
ただし、
、
である。
一般に非保存力fは
として、
![{\displaystyle {\boldsymbol {f}}=-f(v)\,{\hat {\boldsymbol {v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e168d983d80f62d2766b041b80d4c19f976a16e2)
と表される。
- 運動方程式
![{\displaystyle m{\dot {\boldsymbol {v}}}=-\nabla U+{\boldsymbol {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6855ae11fe9e00224711a5810db6909a64520c)
である。
この式の両辺に速度をかけると、
力学的エネルギーの時間変化率は、
である。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。
非保存力により力学的エネルギーが減少することを散逸という。
- ^ 原康夫『物理学通論 I』 学術図書出版、2004年、p58
- ^ 原康夫『物理学通論 I』 学術図書出版、2004年、pp92-93
関連項目[編集]